الگوریتمی برای پیش‌بینی سلسله اعداد جذاب برای مغز انسان

زوميت/ الگوريتمي ارائه شده است که برپايه‌ي آن مي‌توانيم دنباله‌هاي اعداد جذاب براي انسان‌ را پيش‌بيني کنيم. يکي از ويژگي‌هاي جذاب رياضي، زيبا بودن آن است. اما اينکه زيبايي در رياضي به چه معناست، مفهوم پيچيده‌اي است. شايد يکي از مشهورترين مثال‌ها براي زيبايي رياضي، نسبت اويلر (eiπ + 1 = 0) است که ارتباط عميق بين زمينه‌هاي ظاهرا بي‌ربط رياضي را نشان مي‌دهد. به‌عنوان مثال π از هندسه، e و i از جبر، اعداد ابتدايي ۰ و ۱ و عمل جمع و مساوي هم از نظريه‌ي اعداد هستند. چنين مواردي هر کدام مربوط به قلمرويي خاص از رياضيات هستند و در عين حال با يکديگر ارتباط دارند و اين از عجايب دنياي رياضي است. مشخصا وجود چنين ارتباطي نشان از جالب بودن رياضي دارد. الگوهاي رياضي هميشه جزو آن دسته از مواردي هستند که تنها انسان قادر به تشخيص آنها بوده است. اما در سال‌هاي اخير، ماشين‌ها هم ابزاري داشتند که بتوانند با استفاده از آنها، الگوهاي خاص را شناسايي کنند. درواقع ماشين‌ها در شناسايي چهره، اشيا و بسياري از نقش‌هاي بازي، بسيار بهتر از انسان‌ها عمل مي‌کنند. چنين مسئله‌اي احتمال جالبي را به وجود مي‌آورد: آيا الگوريتم‌هاي يادگيري ماشيني مي‌توانند الگوهاي جالب و ظريف موجود در رياضي را نيز شناسايي کنند؟ آيا آنها مي‌توانند در کشف زيبايي‌هاي رياضي نقش محوري بازي کنند؟ خوشبختانه امروزه به‌لطف کار پژوهشي چاي‌وا‌ وو در مرکز تحقيق واتسون شرکت IBM در نيويورک، پاسخي براي اين گونه‌ سوال‌ها به‌دست آمده است. وو يک الگوريتم يادگيري ماشيني ساخته است که مي‌تواند انواع مشخصي از ساختارهاي ظريف در رياضي را شناسايي کند و از آنها براي بيرون کشيدن توالي‌هاي جالب در محيط‌هاي کاملا تصادفي استفاده کند. تکنيک اين الگوريتم با استفاده از يک پايگاه داده‌ي غيرمتعارف به‌نام دانشنامه‌ي آنلاين دنباله‌هاي صحيح يا Online Encyclopedia of Integer Sequences کار مي‌کند که ابتدا در دهه‌ي ۱۹۶۰ توسط رياضي‌داني به‌نام نيل اسلون ساخته شد و در سال ۱۹۹۶ وارد دنياي وب شد. توالي و دنباله‌ي اعداد، به مجموعه‌اي از اعداد گفته مي‌شود که طبق قانون خاص خود در کنار هم قرار گرفته‌اند. به‌عنوان مثال مي‌توان به توالي اعداد اول اشاره کرد که تنها بر ۱ و خودشان بخش‌پذيرند. توالي ديگر، دنباله فيبوناچي است که هر عدد، حاصل مجموع دو عدد قبلي است. دنباله‌هاي ديگري هم هستند که مي‌توانند قانون خاص خود را داشته باشند مثلا اعداد فردي که از ۷ شروع شوند. درواقع رياضي‌داناني که دانشنامه‌ي آنلاين دنباله‌هاي صحيح را مديريت مي‌کنند، اينترنت را به محيطي گسترده براي يافتن توالي‌هاي جالب رياضي تبديل کرده‌اند که نمونه‌هاي زيادي از اين دست، در آن وجود دارد. اين پايگاه داده، توالي ۶۶۶ را هم در خود دارد. پايگاه داده حتي شامل توالي‌هايي از اعداد صحيح حاوي عدد ۶۶۷ هستند. دليل خاص بودن اين عدد به زماني برمي‌گردد که مردم از فکس استفاده مي‌کردند. شماره تلفن هر مشترک به‌علاوه‌ي ۱، شماره‌ي فکس آنها بود. به‌عبارت ديگر، اگر شماره تلفن مشترکي ۱۲۳۴۵۶۷ بود، شماره فکس آنها ۱۲۳۴۵۶۸ در نظر گرفته مي‌شد. با چنين تفکري، عدد ۶۶۷ به توالي ۶۶۶ بسيار نزديک بود. امروزه پايگاه داده‌ي Integer Sequence حاوي ۳۰۰ هزار توالي است و روزبه‌روز به اين تعداد اضافه مي‌شود؛ چه از جانب افراد حرفه‌اي و چه از طرف آماتورها. بسياري از آنها با اين کار به مسائل جالبي در رياضي اشاره مي‌کنند. وظيفه‌ي وو اين بود که راهي براي تمييز چنين توالي‌هايي از انواع تصادفي آن پيدا کند. ايده‌ي وو اين بود که بتواند قوانيني تجربي به دست آورد؛ قوانيني که ميزان جالب بودن توالي‌ها از منظر انسان‌ها را پيدا کند. وو گفت: قوانين تجربي به خودي خود جزو نظريه‌هاي رياضي محسوب نمي‌شوند؛ آنها درواقع مشاهدات تجربي ناشي از روابطي هستند که در بسياري از مجموعه‌‌ي داده‌هاي طبيعي وساخته‌شده به‌دست انسان کاربرد دارند. نمونه‌ها شامل قانون مور در مهندسي برق، و قانون ۲۰-۸۰ پارتو در اقتصاد است. اينکه چرا چنين قوانيني وجود دارند مشخص نيست؛ ولي به‌طور مشخص مي‌دانيم که آنها وجود دارند. يکي از اصول تجربي که در بسياري از مجموعه داده‌ها کاربرد دارد قانون بنفورد است. اين قانون توسط رياضي‌داني کانادايي به‌نام سيمون نيوکام در سال ۱۸۸۱ کشف شد. طبق گفته‌ي نيوکام، لوگاريتم‌هايي که با رقم ۱ شروع مي‌شوند رايج‌ترند. طبق چنين قانوني، در يک مجموعه‌ي داده، اعداد بيشتر با ۱ شروع مي‌شوند تا اعداد ديگر. همين ايده در دهه‌ي ۱۹۳۰ بار ديگر توسط فرانک بنفورد مطرح و کشف شد. قانون بنفورد در مجموعه داده‌هاي زيادي کاربرد دارد، از قبوض برق گرفته تا آدرس خيابان‌‌ها، قيمت سهام و غيره. بنابراين مي‌توان از اين قانون در شناسايي تقلب و کلاهبرداري در حساب‌هاي مالي هم استفاده کرد. البته اين قانون در توالي‌هاي تصادفي کاربرد ندارد و براي همين به‌راحتي قابل درک نيست. درواقع اينکه چرا قانون بنفورد در برخي از توالي‌ها کاربرد دارد، مانند پازلي است که تنها خود رياضي‌دانان جواب آن را مي‌دانند. اما پرسش اين است که اين قانون تا چه اندازه در توالي‌هاي مختلف کاربرد دارد؟ براي درک چنين مسئله‌اي ما ميزان دقت پيش‌بيني قانون از توزيع ارقام اول در ۴۰ هزار توالي تصادفي از پايگاه داده دانشنامه آنلاين دنباله‌هاي صحيح (OEIS) را اندازه گرفتيم. مشخص شد که قانون بنفورد بيش از حد انتظار اتفاق مي‌افتد. وو در اين مورد گفت: طبق نتايج، بسياري (ولي نه همه) از توالي‌ها طبق قانون بنفورد عمل مي‌کنند. بسط قانون تيلور هم توسط وو کشف شد. سوال بعدي اين بود که آيا مي‌توان از قوانين بنفورد و تيلور براي تمييز توالي‌هاي تصادفي OEIS استفاده کرد؟ دانشمندان براي فهميدن اين موضوع، ۴۰ هزار عدد تصادفي ايجاد شد و آنها را به ۴۰‌ هزار توالي انتخاب‌شده از OEIS اضافه کردند. وو الگوريتم يادگيري ماشيني‌ را آموزش داد تا توالي‌هاي OEIS را با استفاده از قوانين بنفورد و تيلور شناسايي کند و آنها را از توالي‌هاي تصادفي جدا کند. نتايج کار حيرت‌انگيز بود. الگوريتم کارش را با درستي ۰/۹۹۹ و دقت ۰/۹۹۸۴ انجام داد. چنين کاري اهميت بسياري داشت؛ چراکه باعث مي‌شد امکان استفاده از روند خودکار براي شناسايي توالي‌هاي جالب فراهم شود. رياضي‌داناني که وظيفه‌ي مديريت پايگاه داده OEIS را برعهده داشتند؛ بايد هر سال حدود ۱۰ هزار مورد ارسالي را بررسي و پردازش مي‌کردند. کار آنها با استفاده از اين الگوريتم خودکار، بسيار راحت مي‌شد. البته اين شيوه محدوديت‌هاي خاص خودش را نيز داشت. رياضي‌دانان توالي‌هاي مهم و جالب زيادي را تعريف کرده‌اند که بي‌نهايت عدد دارند و محاسبه‌ي آنها بسيار دشوار است. اما پايگاه داده تنها بخشي از آنها در اختيار دارد. اين تعداد محدود براي تحليل ماشيني مناسب نيست. سوال مهم‌تر اينکه آيا چنين شيوه‌اي مي‌تواند ظرافت و زيبايي‌هاي رياضي را شناسايي کند؟ خود وو هم اين سوال مطرح مي‌کند: آيا يادگيري ماشيني مي‌تواند مشخصه‌هاي کيفي دانش علمي را کشف کند؛ به‌عبارت ديگر آيا ما مي‌توانيم بگوييم که نتايج علمي به‌دست‌آمده ظريف‌اند، ساده‌اند يا جالب؟ رسيدن‌به چنين هدفي کاملا نشدني نيست. اگر قوانين تجربي مثل قوانين بنفورد و تيلور، شاخصي براي يافتن جالب بودن رياضيات هستند، پس شايد اين الگوريتم بتواند به‌عنوان يک تشخيص‌دهنده‌ي ظرافت (حداقل تا سطحي خاص) عمل کند. مسلما اگر اويلر (که خود يکي از برجسته‌ترين رياضي‌دانان تاريخ است) هم‌اکنون زنده بود، از وجود چنين الگوريتمي شگفت‌زده مي‌شد. همراهان عزيز، آخرين خبر را بر روي بسترهاي زير دنبال کنيد: آخرين خبر در سروش http://sapp.ir/akharinkhabar آخرين خبر در ايتا https://eitaa.com/joinchat/88211456C878f9966e5 آخرين خبر در بله https://bale.ai/invite/#/join/MTIwZmMyZT آخرين خبر در گپ https://gap.im/akharinkhabar